若满足方程，则称是函数的一个不动点，利用不动点可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列。下面举例说明。
结论1 若，为的不动点，满足，则是公比为a的等比数列。
证明：因为为的不动点，所以，所以，所以，所以数列是公比为a的等比数列。
例1. （2005年高考·北京卷）设数列的首项，且。记。判断是否为等比数列。
解：。令，求出不动点，
由结论1得：数列是公比为的等比数列。故是首项为，公比为的等比数列。
例2. （2005年高考·山东卷）已知数列的首项为，前n项和为，且，求的通项公式。
解：由已知，得
当时，，
两式相减得
当时，，即，也即
又，所以，从而＋1，故对成立。
令，求出不动点。
由结论1得：数列{}是公比为2的等比数列，所以＝，故。
结论2 设，数列满足，且。
（1）若有两个相异不动点，则数列是公比为的等比数列；
（2）若只有唯一不动点，则数列是等差数列。
证明：（1）因为由题设知。
同理。
所以
所以数列是公比为的等比数列。
（2）因为为的唯一不动点，所以＝x，即有唯一解，所以且＝。
，
所以数列是公差为的等差数列。
例3. （2005年高考·重庆卷）设数列满足（），且。求数列的通项公式及数列的前n项和。
解：由已知得，由方程，求出不动点，。
于是，
所以数列是公比为的等比数列
所以，
解得
故数列的前n项和为
例4. 已知数列满足。
解：由方程，求出唯一不动点，于是
解得。
